La probabilità spiegata ai bambini

Se un giorno sei a una festa con tanti invitati, diciamo una quarantina, puoi proporre un gioco. Prima di tutto, chiedi a ognuno di scrivere su un foglietto il giorno del proprio compleanno. Una volta raccolti tutti i bigliettini lancia la tua sfida: «Scommetto che tra voi ci sono almeno due persone nate lo stesso giorno dell’anno». Leggendo i foglietti scoprirai che, nove volte su dieci, la tua scommessa è vinta. Probabilmente gli altri penseranno a un trucco: conoscevi già le date di nascita di qualcuno? Hai nascosto tra i bigliettini una data falsa, dopo averne sbirciati un paio? Niente di tutto questo. Hai vinto la scommessa grazie al calcolo delle probabilità.

Questo gioco è un esempio molto famoso di come la probabilità sia un concetto difficile che spesso ci sfugge. Che due persone in un gruppo abbiano lo stesso compleanno ci sembra una coincidenza fortuita, un caso insolito. Invece basta essere una ventina - ventitré, per essere precisi - perché sia più probabile del contrario. In altre parole: se riunisci ventitré persone, è più facile che almeno due di loro siano nate lo stesso giorno dell’anno piuttosto che siano nate tutte in giorni diversi. Più il gruppo è grande, più un compleanno in comune è probabile. Dato che un anno ha 365 giorni, se le persone sono 366 o più è certo che almeno due di loro condividano giorno e mese di nascita.

Ma che cos’è la probabilità? Sembra una domanda facile, ma non lo è affatto. Puoi vedere la probabilità di un certo fatto come la frequenza con cui quel fatto avviene quando si fanno tantissime prove. Per esempio: se un giorno vai a giocare a pallone, fai cento tiri in porta e tredici di questi vanno a rete, potrai dire che hai il 13% (si legge “tredici per cento”) di probabilità di fare gol. Man mano che diventi più bravo, facendo cento tiri questo numero aumenterà. Se smetti di giocare per un po’, probabilmente diminuirà. Ognuno dei tuoi compagni avrà una sua probabilità di fare gol, e magari quando c’è da tirare un calcio di rigore vorrete tutti che lo faccia Serena, che segna quasi sempre. Certo, puoi parlare di probabilità anche facendo meno tiri, ma la probabilità sarà meno accurata. Questo significa che, se provate a capire chi è il più bravo facendo solo tre tiri a testa, è difficile che scegliate davvero il migliore di voi per il rigore cruciale.

Quando scriviamo “13%” stiamo in realtà usando una frazione: tredici su cento. Su cento tiri, hai fatto tredici gol. La probabilità è sempre un numero, proprio come 13/100, e varia tra zero e uno. Un evento ha probabilità 0 quando è impossibile che si verifichi - per esempio, che domattina ti spuntino quattro ruote. Ha probabilità 1, invece, un evento assolutamente certo, come il fatto che il 25 dicembre sarà Natale.

La probabilità rimane una faccenda difficile anche per gli esperti: lo dimostra una storia che risale a non molto tempo fa, chiamata paradosso di Monty Hall. Immagina di partecipare a un gioco a premi. Devi scegliere tra tre porte; dietro una porta c’è una macchina nuova, mentre dietro ognuna delle altre due porte si nasconde una capra. Se vuoi vincere la macchina, è chiaro, devi indovinare la porta giusta. Mettiamo che tu scelga la tua porta preferita. A questo punto, per aumentare la suspense, il conduttore apre una delle altre due porte mostrando una capra. Ti guarda e ti chiede se vuoi cambiare la tua scelta. Tu insisti con la porta che avevi scelto all’inizio, oppure cambi porta?

Nel 1990 la saggista americana Marilyn vos Savant, famosa per avere un QI esageratamente alto, ricevette da un lettore proprio questo quesito. Che cosa diceva il calcolo delle probabilità? Era meglio cambiare porta, o tenersi quella di partenza? I matematici allora non avevano dubbi: per loro, cambiare la porta o no non faceva alcuna differenza, perché ognuna delle tre porte aveva una probabilità di un terzo di nascondere l’automobile. Marilyn vos Savant, invece, ragionò diversamente. Prese in esame tutti i casi possibili e dimostrò, dati alla mano, che cambiando porta si arriva alla macchina in due casi su tre. Non è difficile: puoi farlo anche tu. Disegna le tre porte, le due capre e una bella macchina fiammante e scrivi su un foglietto che cosa succede nei vari casi: se all’inizio scegli la porta giusta oppure una delle due sbagliate, se mantieni la porta iniziale o se la cambi. Scoprirai che, cambiando porta in corsa, la probabilità di vincere raddoppia!